Sensitivitätsanalyse: Wie stabil sind die Power-Law-Parameter?

Ziemlich stabil, aber weniger genau, als die drei Nachkommastellen vermuten lassen. Wir haben die Regression mit jedem Datenende von 2014 bis 2026 neu gerechnet: Seit 2016 liegt der Exponent zwischen 5,62 und 5,89, und die Linie für den 1. Januar 2030 zwischen 330’000 und 537’000 US-Dollar. Der veröffentlichte Exponent 5,688 liegt mitten in diesem Bereich. Wie sicher er ist, hängt aber stark davon ab, wie ehrlich man die Unsicherheit rechnet.

Warum die Parameter überhaupt wackeln können

Das Bitcoin Power Law ist eine Gerade auf einem doppelt logarithmischen Diagramm: auf der einen Achse die Tage seit dem Genesis-Block, auf der anderen der Preis. Zwei Zahlen legen diese Gerade fest. Die Steigung, der Exponent b, sagt, wie schnell der Preis mit der Zeit wächst. Der Achsenabschnitt a verschiebt die ganze Gerade nach oben oder unten.

Diese zwei Zahlen sind kein Naturgesetz. Sie kommen aus einer Regression über die bisherigen Tageskurse. Kommen neue Kurse dazu, fällt ein Crash in die Daten, oder lässt man die ersten Jahre weg, dann ändern sich a und b. Die Frage dieses Artikels ist: wie stark? Und was bedeutet das für die Werte, mit denen du planst?

Die grundsätzliche Kritik am Modell, etwa ob eine Gerade auf Log-Log-Achsen überhaupt etwas beweist, steht in Kritik am Bitcoin Power Law. Hier geht es nur um die Zahlen selbst.

Test 1: Wie ändern sich a und b mit dem Datenende?

Der naheliegendste Test: Man tut so, als wäre heute der 31. Dezember eines früheren Jahres, und rechnet die Regression nur mit den Kursen bis dahin. So sieht man, was jemand damals ausgerechnet hätte.

Drei Dinge fallen auf.

Die ersten Jahre reichten nicht. Mit Daten bis 2014 hätte die Regression für 2030 fast 3,9 Millionen US-Dollar ergeben, zehnmal so viel wie heute. Viereinhalb Jahre Daten mit zwei riesigen Blasen (2011 und 2013) reichen nicht für eine stabile Steigung.

Seit 2016 pendelt b in einem Band. Zwischen 5,62 und 5,89 liegen alle Werte. Ein Hoch am Ende der Daten macht die Gerade steiler: Von Ende 2020 auf Ende 2021 stieg b von 5,74 auf 5,89. Ein Bärenmarkt am Ende macht sie flacher: Mit Ende 2022 fiel b auf 5,82, mit Ende 2023 auf 5,71. Die Kurse am Rand ziehen die Gerade mit, weil sie auf der Zeitachse am weitesten vom Schwerpunkt entfernt liegen.

2026 hat die Gerade spürbar gedrückt. Ende 2025 stimmte die Regression mit der veröffentlichten Formel fast genau überein (5,700 gegen 5,688). Zehn Monate mit Kursen um die Hälfte der Linie haben b auf 5,636 gesenkt und den Wert für 2030 um 9 % gekürzt.

Test 2: Wie genau ist die Steigung? Der Standardfehler

Statistikprogramme geben zu jeder Steigung einen Standardfehler aus. Für alle 5’957 Tage beträgt er 0,015. Das 95-%-Intervall wäre damit etwa 5,61 bis 5,66, und die Linie für 2030 läge zwischen 354’000 und 373’000 US-Dollar. Das klingt sehr genau.

Diese Zahl ist aber viel zu optimistisch. Die Formel nimmt an, dass jeder Tag eine unabhängige neue Information ist. Bei Bitcoin ist das nicht so: Liegt der Kurs heute 50 % über der Linie, liegt er morgen fast sicher auch dort. Die Abweichungen von der Geraden hängen über Monate zusammen. 5’957 Tage enthalten deshalb viel weniger Information als 5’957 unabhängige Messungen.

Erst nach etwa einem Jahr ist die Abweichung von heute vergessen. Die Zyklen dauern rund vier Jahre, und davon gibt es in den Daten nur vier. Dass gleichlaufende, trendbehaftete Reihen in einer Regression viel zu kleine Fehler und zu hohe R² liefern, ist in der Statistik seit Granger und Newbold (1974) bekannt.

Rechnet man die Abhängigkeit mit ein, wird der Standardfehler etwa zehnmal so groß:

Die ehrliche Antwort lautet also: b liegt mit hoher Wahrscheinlichkeit irgendwo zwischen etwa 5,2 und 6,1. Die drei Nachkommastellen in 5,688 sind eine Festlegung, keine Messgenauigkeit.

Test 3: Welches Startdatum?

Die Daten der Seite beginnen am 18. Juli 2010. Manche Power-Law-Rechnungen starten später, weil die ersten Kurse von wenigen, dünn gehandelten Börsen stammen. Lässt man die frühen Jahre weg, wird die Gerade flacher:

Ein Startdatum 2013 statt 2010 senkt b um 0,4 und die Linie für 2030 um ein Fünftel. Der Grund: Auf einer Log-Zeitachse sind die ersten Jahre lang. Von Tag 561 (Juli 2010) bis Tag 1’459 (Januar 2013) ist auf der x-Achse zwei Drittel so viel Platz wie von 2013 bis November 2026. Wer diese Jahre weglässt, verliert die Punkte, die die Steigung am stärksten festlegen. Übrig bleibt eine kürzere Strecke mit großen Zyklen darauf, und deren Neigung hängt stark davon ab, wo die Daten enden.

Test 4: Welche Gewichtung?

Jeder Tag gleich gewichtet heißt: 2025 zählt mit 365 Punkten, 2010 nur mit 167. Auf der Log-Zeitachse liegen die neuen Jahre aber eng beieinander. Man kann deshalb auch anders gewichten:

Gewichtet man die frühen Jahre stärker, wird die Gerade steiler, gewichtet man die jüngsten stärker, wird sie flacher. Das passt zu dem, was die Herleitung der Seite beschreibt: Die letzten Jahre lagen unter der Geraden, vor allem die Hochs sind kleiner geworden. Zwischen der flachsten und der steilsten Variante liegen 0,33 im Exponenten und 37 % beim Wert für 2030.

Test 5: Was bewirkt eine Änderung des Exponenten um 0,1?

Hier lauert ein Denkfehler. Ändert man nur b um 0,1 und lässt a stehen, dann ändert sich der Wert für 2030 um den Faktor 10^(0,1 × log10(7’668)) = 2,45. Aus 401’000 würden 981’000 oder 164’000 US-Dollar. Diese Rechnung ist aber unsinnig, denn eine solche Gerade läge weit neben allen bisherigen Kursen.

a und b hängen zusammen. Wird die Gerade steiler, muss sie weiter unten beginnen, damit sie durch die Daten passt. Sie dreht sich um den Schwerpunkt der Daten, und der liegt auf der Log-Zeitachse im April 2017. Je weiter ein Datum davon entfernt ist, desto stärker wirkt eine andere Steigung.

Ein Zehntel im Exponenten bewegt den Wert für 2030 also um rund 9 bis 10 %, für 2040 um 12 bis 14 %. Das ist spürbar, aber kein Faktor 2,5. Interessant ist auch die letzte Zeile: Mit dem veröffentlichten Exponenten passt der beste Achsenabschnitt zu allen Daten bei −16,514, nur 0,021 vom veröffentlichten −16,493 entfernt. Das sind 5 % Unterschied im Preis.

Was die Seite daraus macht: feste Parameter

bitcoin-powerlaw.com rechnet den Floor und die Power-Law-Linie mit den veröffentlichten Parametern a = −16,493 und b = 5,688. Diese Werte verwenden auch andere Power-Law-Seiten. Sie sind fest: Der Floor eines Tages ist auf allen diesen Seiten gleich und ändert sich später nicht mehr.

Bis November 2026 hat die Seite die Regression mit jedem neuen Tageskurs neu gerechnet. Das Ergebnis siehst du in Test 1: Ein schwaches Jahr 2026 hat den Floor innerhalb von zehn Monaten um 9 % gesenkt. Ein Floor, der nach unten nachgibt, wenn der Kurs fällt, ist als Untergrenze wenig wert. Deshalb gilt heute:

• Die Formel ist das Modell. Sie ändert sich nicht mit jedem Kurs.
• Die Regression ist die Kontrolle. Sie läuft weiter mit jedem neuen Tageskurs, und die Methodik-Seite zeigt sie neben der Formel. Bis Ende 2025 bestätigte sie die Formel auf etwa 1 % genau, mit allen Kursen bis November 2026 liegt sie 8,6 % darunter.
• Die Formel bleibt im Unsicherheitsbereich. b = 5,688 liegt mitten im Band, in dem sich die Regression seit 2016 bewegt, und weit innerhalb des ehrlichen 95-%-Bereichs von etwa 5,2 bis 6,1.

Ein Wechsel auf neue Parameter wäre nur dann sinnvoll, wenn die Daten eine klar andere Steigung zeigen, nicht schon dann, wenn ein Bärenmarkt die Regression für ein Jahr nach unten zieht. Der klare Test kommt von selbst: Laut Formel passiert der Floor im Dezember 2028 das Allzeithoch von Oktober 2025. Liegt Bitcoin dann noch darunter, ist der Kurs unter dem Floor, und das Modell trifft nicht mehr zu.

Was das für deine Planung heißt

Die Sensitivität betrifft vor allem lange Horizonte. Für die nächsten ein, zwei Jahre ändern andere Parameter die Linien nur um wenige Prozent, weil heute nahe am Schwerpunkt der Daten liegt. Für 2030 sind es schon rund 10 % pro Zehntel im Exponenten, für 2040 mehr.

Rechne deshalb mit Spannen, nicht mit einer Zahl. Wenn dein Plan nur aufgeht, wenn 2030 die Linie genau bei 401’000 US-Dollar steht, ist er zu knapp. Prüfe ihn auch mit einer Linie bei 330’000 und einem Floor bei rund 140’000. Wie die Werte für 2030, 2035 und 2040 nach dem Modell der Seite aussehen, steht in der Bitcoin-Prognose 2030.